I-Système et référentiel

1- Notion de point matériel

Lorsqu’un système se déplace, tous les points qui le constituent sont également en mouvement. L’étude du mouvement de l’objet peut devenir rapidement très complexe.

Pour simplifier, on réduit généralement cette étude à celle d’un point particulier du système mobile, appelé point matériel, puisque l’on lui associe la masse m du système.

Exemple : Dans le cas d’un ballon, le point choisi pour modéliser le mouvement est son centre.

La modélisation d’un système par un point peut toutefois faire perdre des informations sur le mouvement.

Exemple : Pour un marteau qui tourne sur lui-même au cours de son mouvement, le réduire à un point fait perdre l’information de l’existence de cette rotation.

2- Coordonnées du point matériel

Pour analyser le mouvement d’un point matériel, il faut pouvoir identifier à différents instants la position de ce point.

La position d’un point mobile est définie par ses coordonnées dans un repère d’espace gradué à l’aide d’une échelle spatiale adaptée.

Exemple : Pour un mouvement plan, le repère d’espace est orthonormé, il est constitué de deux axes gradués en mètre. Les coordonnées du point matériel sont alors x et y.

Pour pouvoir localiser à différents instants le point matériel en mouvement, il faut aussi définir un repère de temps.

Dans un repère de temps, on associe aux coordonnées du point mobile un instant t compté à partir d’une échelle temporelle adaptée et d’une origine choisie où t= t₀ = 0.

3- Trajectoire d’un point matériel

La trajectoire d’un point matériel en mouvement est une courbe orientée qui indique le sens et la direction du mouvement. Cette courbe traduit l’ensemble des positions successives occupées par ce point au cours de son mouvement.

III- Déplacements et vitesse

1- Vecteur déplacement d’un point

 Lorsqu’un point se déplace d’une position de départ, notée M, vers une position d’arrivée M′, le vecteur déplacement MM' se représente par un segment orienté qui relie le point de départ et le point d’arrivée.    

2- Vecteur vitesse moyenne d’un point

On considère M et M′ les positions respectives d’un point au départ du parcours et à son arrivée.

La vitesse moyenne v de ce point correspond au quotient de la distance moyenne d parcourue par la durée Dt du parcours :

En représentation vectorielle, le vecteur déplacement MM' permet de définir le vecteur vitesse moyenne v.

3- Vecteur vitesse d’un point

Si on décompose la trajectoire d’un point en une succession de positions M0, M1, … Mi, Mi+1 (MiMi+1 avec comme vecteur déplacement), le vecteur vitesse vi  en Mi est défini par :

4- Mouvement rectiligne et variation du vecteur vitesse

Pour décrire le mouvement d’un objet, il faut connaître sa trajectoire, ainsi que l’évolution de sa vitesse. Il est donc nécessaire de vérifier si le vecteur vitesse varie en sens, direction et norme au cours du mouvement de l’objet.

Dans le cas d’une trajectoire rectiligne, si le vecteur vitesse ne varie pas, le mouvement est rectiligne uniforme. Par contre, si le vecteur vitesse varie, le mouvement est rectiligne non uniforme.

L’évolution de la distance entre deux positions successives d’un point d’un objet, ou entre deux images prises à intervalle de temps régulier, renseigne sur l’évolution de la vitesse.

Le vecteur vitesse conserve la direction du mouvement, mais sa norme peut augmenter ou diminuer au cours du temps.

I- De l’action mécanique à la force

1- Action mécanique

Lorsqu’un système extérieur agit sur un système étudié, il y a une action mécanique du premier qui s’exerce sur le second.

Les actions mécaniques peuvent avoir différents effets sur le système étudié :

• le mettre en mouvement(A) : mise en mouvement d’un ballon de rugby
• modifier sa trajectoire et/ou sa vitesse (B) : bille déviée par un aimant
• ou encore le déformer (C) : arc déformé par le tireur

2- Action à distance et action de contact

Si les systèmes étudié et extérieur se touchent, on parle d’action mécanique de contact (A et C).

Si le système extérieur agit sur le système étudié sans le toucher, on parle d’action mécanique à distance (B).

3- Diagramme objets-interactions

Le système étudié peut subir les actions de plusieurs systèmes extérieurs, il est alors important de faire le bilan de toutes les actions mécaniques agissant sur lui.

Le diagramme objets-interactions permet de dresser schématiquement le bilan des actions mécaniques qui s’exercent sur le système étudié.

4-Modélisation d’une action mécanique par une force

Pour pouvoir étudier une action mécanique, on la modélise par une force représentée par un vecteur F _{système extérieur/système étudié}

Les caractéristiques d’un vecteur F _{système extérieur/système étudié} sont :

– l’origine, le point représentant le système étudié ;

– la direction, celle de l’action mécanique ;

– le sens, celui de l’action mécanique ;

– la norme (ou longueur) est proportionnelle à la valeur (ou intensité) de la force, exprimée en newton (N).

La valeur de la force se mesure avec un dynamomètre.

Exemple :  L’action mécanique d’une raquette sur une balle de tennis est modélisée par une force d’intensité 1 000 N. Le vecteur a une norme (ou longueur) égale au double de l’échelle .

II- Exemples de forces

1- La force d’interaction gravitationnelle

En 1687, Newton publie dans son ouvrage Principes mathématiques de la philosophie naturelle, les prémices de ce qui allait devenir la loi de la gravitation universelle.

Tous les corps massiques de l’Univers s’attirent mutuellement, d’où le terme d’universelle. Cette attraction due à leur masse, est modélisée par la force d’interaction gravitationnelle.

Deux systèmes A et B, de masses respectives m_A et m_B, séparés d’une distance d, exercent l’un sur l’autre des actions mécaniques attractives modélisées par des forces, appelées forces d’interaction gravitationnelle, de même intensité, de même direction, mais de sens opposés.

L’expression vectorielle de ces forces F  est :

Ces forces d’interaction sont à l’origine des mouvements des planètes autour du Soleil et des mouvements des satellites autour des planètes.

Exemple : La Terre de masse m_T = 5,97x10²⁴ kg et la Lune de masse m_L = 7,35x10²² kg sont à une distance d= 3,84 x10⁵ km. Après conversion de d en mètre, on calcule l’intensité de la force d’interaction gravitationnelle F :

2- Le poids

Un système étudié de masse m se trouvant à la surface (ou à proximité) d’un astre de masse m_A et de rayon R subit l’attraction de cet astre.

Le poids d’un système est la force qui modélise l’action à distance de l’astre attracteur à proximité. L’expression vectorielle du poids  P est : 

Les caractéristiques du vecteur   du système S sont :

– la direction, qui est la droite reliant le système au centre de l’astre, donc la verticale du lieu ;

– le sens, qui est vers le centre de l’astre ;

– la longueur, qui est proportionnelle à la valeur du poids P = m · g.

L’intensité de pesanteur dépend de la masse de l’astre et de son rayon :

Exemple :

L’intensité de pesanteur sur la Lune est donc six fois plus faible que sur la Terre, il en est alors de même pour l’intensité du poids.

3- Force exercée par un support

On appelle réaction 

R du support la force qui modélise l’action du support sur le système d’étude.

Les caractéristiques de la réaction   sont :

– la direction qui est perpendiculaire au support ;

– le sens qui est du support vers le système étudié ;

– la norme qui est proportionnelle à la valeur de la réaction R.

  La table exerce une action sur le livre L.

  Une pente enneigée exerce une action sur le skieur S.

4- Force exercée par un fil

On appelle tension

T  du fil, la force qui modélise l’action du fil sur le système d’étude.

Les caractéristiques de la tension  sont :

– la direction qui est celle du fil ;

– le sens qui est du système étudié vers le fil ;

– la norme qui est proportionnelle à la valeur de la tension T.

III- Principe des actions réciproques

3e loi de Newton : lorsqu’un système A exerce une action mécanique sur un système B, alors le système B exerce une action mécanique réciproque sur le système A. Ces actions sont modélisées par des forces telles que :

F _A/B = - F _B/A

 Ces forces ont même direction, même valeur, mais sont de sens opposés.

Exemple :

Ce principe (3e loi de Newton) explique la propulsion des fusées. La fusée exerce une action mécanique sur les gaz en les expulsant vers le bas. Les gaz exercent alors une action mécanique sur la fusée vers le haut.

Ces actions mécaniques sont modélisées par les forces F  _fusée/gaz et  F  _gaz/fusée qui sont de sens opposés.

Le système étudié étant la fusée, c’est la force  

F _gaz/fusée qui est à l’origine du décollage de la fusée.

I- Le principe d’inertie

Un passager immobile dans un bus a la sensation d’être « projeté » vers l’extérieur en abordant un virage. Pourtant, aucune action supplémentaire ne s’exerce sur lui.

En réalité, alors que le bus change de trajectoire, le passager continue son mouvement rectiligne uniforme.

1- Enoncé

Tout système demeure dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les actions mécaniques qui s’exercent sur lui se compensent, ou en l’absence d’action mécanique.

La réciproque est vraie

2- Somme des forces et vecteur vitesse

Des actions mécaniques se compensent si la somme vectorielle des forces les modélisant, notée  ΣF  est nulle : ΣF =0 . 

Ainsi, si la somme ne change pas au cours du temps, ni en direction, ni en sens, ni en valeur. ΣF des forces qui modélisent les actions mécaniques appliquées sur un système est nulle, alors son vecteur vitesse V

Dans ce cas, la variation entre deux instants voisins du vecteur vitesse V   du système est nulle.

Exemple : En l’absence de frottements, une pierre de curling poursuit, après avoir été lancée, un mouvement rectiligne uniforme car l’action de la Terre et l’action de la piste se compensent.

3- Exploitation du principe d’inertie

Le principe d’inertie permet de déduire la nature du mouvement d’un système ou son état de repos à partir de la somme des forces qui modélisent les actions appliquées (et inversement).

Un gymnaste en « croix de fer » est parfaitement immobile. On peut donc en déduire que son poids P et les tensions des cordes T₁ et T₂ se compensent : 

P + T₁ + T₂  = 0

Remarque :

Le principe d’inertie n’est valable que dans un type de référentiel, nommé référentiel galiléen.

Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen.

II- Variations de vitesse et somme des forces

Si la Terre n’était soumise à aucune action, elle poursuivrait un mouvement rectiligne et uniforme. C’est l’action exercée par le Soleil modélisée par la force d’attraction gravitationnelle qui, à chaque instant, modifie la vitesse de la Terre et lui impose une trajectoire circulaire.

1- Contraposée du principe d’inertie

Tout système soumis à des actions mécaniques qui ne se compensent pas n’est ni immobile, ni en mouvement rectiligne uniforme.

La réciproque est vraie.

La trajectoire du skieur n’étant pas rectiligne, les forces modélisant les actions mécaniques qui lui sont appliquées ne se compensent pas.

Ainsi, si la somme  ΣF des forces qui modélisent les actions appliquées sur un système n’est pas nulle, alors son vecteur vitesse V  change de direction et/ou de valeur : V  n’est pas constant.

2- Lien entre somme des forces et variations de vitesse

Une force modélisant une action mécanique appliquée sur un système (ou une somme de forces non nulle modélisant des actions mécaniques) modifie le vecteur vitesse du point matériel qui modélise le système.

La variation entre deux instants voisins du vecteur vitesse d’un système modélisé par un point matériel est reliée à l’existence d’actions mécaniques modélisées par des forces dont la somme est non nulle.

Exemple :

Lors du déplacement de la Terre T autour du Soleil S, le vecteur vitesse V  de la Terre varie entre deux instants successifs. Sa variation est liée à l’existence de l’action du Soleil sur la Terre modélisée par la F _S/T.

3- Variation de vitesse et orientation de la force

Selon l’orientation de la force qui la modélise, une action mécanique modifie la valeur du vecteur vitesse ou sa direction ou les deux à la fois.

Le mouvement du système change tant en vitesse qu’en trajectoire.

Le système est soumis à des actions mécaniques qui ne se compensent pas, modélisées par une somme de forces ΣF non nulle.

• Si ΣF est dans un sens opposé au vecteur vitesse, alors la valeur de la vitesse diminue.

• Si ΣF

est perpendiculaire au vecteur vitesse, alors seule la direction du vecteur vitesse change (sa valeur reste constante)

• Si ΣF est dans le même sens que le vecteur vitesse, alors la valeur de la vitesse augmente.

III- Applications à des situations de chute verticale

1- Chute libre verticale

En l’absence de frottements, un système en chute libre est uniquement soumis à l’action de la Terre, modélisée par son poids P. Il n’est donc ni immobile ni en mouvement rectiligne uniforme car la somme  des forces ΣF  n’est pas nulle

Les modifications de son mouvement se font dans la direction et le sens de son poids P

Lors d’une chute libre, le mouvement est rectiligne et la valeur de la vitesse varie au cours du temps.

Le mouvement est accéléré V  est dans le même sens que P.

Le mouvement est ralenti si V est dans le sens opposé à P.

Exemple : Une balle lancée verticalement vers le haut décrit un mouvement rectiligne ralenti lors de la montée car, à chaque instant, le poids est dans le sens opposé au vecteur vitesse 

En revanche, lors de la descente, son mouvement devient rectiligne accéléré car le poids est dans le même sens que le vecteur vitesse

2- Chute libre verticale en présence de frottements

Lorsqu’un objet est en mouvement dans un fluide (l’air par exemple), il peut être soumis de la part du fluide à des frottements non négligeables. Les forces de frottements f  qui en résultent sont opposées au mouvement (c’est-à-dire au vecteur vitesse v ) et leur valeur augmente lorsque la vitesse croît.

 Pour un système en chute verticale, dès lors que les forces de frottements f compensent le poids P , la somme des forces devient nulle :

 le mouvement est rectiligne uniforme.

 De ce fait, la vitesse d’un système en chute verticale atteint une valeur limite constante (V  est constant car ΣF =0 d’après le principe d’inertie)

 Lorsque la balle atteint sa vitesse maximale de chute, elle décrit un mouvement rectiligne uniforme.